Posts Tagged ‘Modele kształtowania niezawodności wybranej klasy wyrobów na etapie projektowania i badań’

W tym rozdziale przedstawiono opis kształtowania niezawodności pewnej klasy wyrobów na etapie projektowania i badań modeli.

Dla rozpatrywanej klasy wyrobów przyjmuje się następujące założenia:

  1. Od wyrobu wymaga się, aby jego niezawodność była nie mniejsza niż P*
  2. Wyrób w rozwiązaniu modelowym wykonuje się w kolejnych wersjach coraz bardziej doskonałych, które bada się w odpowiednich warunkach i ocenia ich niezawodność. Jeżeli przyjąć, że k jest kolejnym badaniem wyrobu w procesie projektowania i badań, to przy prawidłowym konstruowaniu mamy

,

gdzie k* oznacza kolejną wersję wyrobu, dla którego osiągnięto żądaną niezawodność, P zaś prawdopodobieństwo niezawodnej pracy wyrobu w wersji badanej.

  1. Każdy model wyrobu przeznaczony do badań ma dwie cechy:

– pierwszą, że w czasie próby będzie pracował niezawodnie,

– drugą, że w czasie próby będzie pracował zawodnie.

  1. Przystępując do następnej fazy projektowania i badań np. k + 1 przyj­muje się, że znane są wyniki badań k- tej fazy. Zakłada się również, że proces projektowania, wykonania modeli i badań, ma następujące właściwości:

(l) w kolejnej fazie istnieje szansa poprawienia niezawodności wyrobu z prawdopodobieństwem ak.

(2) w kolejnej fazie istnieje również możliwość pogorszenia niezawodności wyrobu z prawdopodobieństwem bk.

Schemat kształtowania niezawodności wyrobu na etapie projektowania i badań przedstawiony jest na rys. 4.

Rys. 4. Schemat kształtowania niezawodności wyrobu [20]

 Model matematyczny kształtowania niezawodności wyrobu w procesie konstruowania i badań [20]

Załóżmy, że wykonana jest k-ta wersja modelu wyrobu. Model wyrobu posiada dwie właściwości, tzn. jest niezawodny lub jest zawodny. Dla pojedyn­czej próby przyjmuje się następującą zmienną losową:

gdzie k oznacza k-tą wersję modelu wyrobu. Załóżmy, że do prób przygotowa­nych jest N modeli wyrobu. Wprowadza się nową zmienną losową

                                                                (50)

gdzie XkN oznacza sumę Jedynek w próbie N-element owej dla k-tej wersji modelu wyrobu, xkj zaś zmienną losową dla j-tej próby modelu wyrobu k-tej wersji.

Wiadomo, że zmienna losowa XkN ma rozkład dwumianowy o postaci

,                                                                   (51)

gdzie Pk = { Xk = 1 } oznacza prawdopodobieństwo tego, że w pojedynczej próbie model wyrobu będzie pracował niezawodnie, qk = ( 1 – Pk ) = P { Xk = 0 } zaś prawdopodobieństwo tego, że w pojedynczej próbie model wyrobu będzie pracował zawodnie. Wiadomo również, że prawdopodobieństwa określone wzorem (51) sumują się do jedności,

          (52)

Z zależności (52) wynika, że wyrażenie (51) jest rozkładem zmiennej losowej XkN.

Wartość średnia i wariancja zmiennej losowej XkN wynoszą odpowiednio:

,                                                                                              (53)

.                                                                                (54)

Przyjęto w założeniach, że niezawodność modelu wyrobu powinna być nie mniejsza niż P* dla pojedynczej próby. Z tego warunku można dla danej próbki wyznaczyć minimalną liczbę jedynek, które muszą wystąpić w danej fazie badań,

 

stąd

.                                                                                                      (55)

Wykorzystując rozkład (51) można wyznaczyć prawdopodobieństwo, że niezawodność modelu wyrobu k-tej wersji będzie nie mniejsza niż P*,

.                                                                                                (56)

Następnie należy określić prawdopodobieństwo Pk z uwzględnieniem prac projektowych.

Oś czasu można podzielić na odcinki w sposób jak pokazano na rys. 5, gdzie Dt jest przedziałem czasu, w którym opracowuje się udoskonaloną wersję modeli, k zaś oznacza k-tą wersję modeli wyrobu przygotowanych do badań i przeprowadzenie badań w czasie Dt.

Rys. 5. Schemat kolejnych faz projektowania, wykonania i badań modeli

Prace projektowe i badawcze kończą się w momencie, gdy w kolejnych badaniach model wyrobu spełnia wymogi funkcjonalne i niezawodnościowe, tj. wtedy, gdy niezawodność pracy modeli spełnia warunek Pk ³ P*. Pk oznacza prawdopodobieństwo, że w pojedynczej próbie model wyrobu będzie pracował niezawodnie, czyli jest to prawdopobieństwo, że zmienna losowa Xk przyjmie wartość Jeden. Do opisania tego co się dzieje podczas przygotowania kolejnej wersji modeli ( w przedziale czasu o długości Dt ) wprowadza się następujące prawdopodobieństwa:

a – prawdopodobieństwo poprawienia stanu niezawodnościowego modelu wyrobu w przedziale czasu o długości Dt w każdej fazie projektowania i badań. Prawdopodobieństwo to oznacza możliwość przekształcenia 0 w l w przedziale czasu o długość Dt, tzn.

,

b –  prawdopodobieństwo pogorszenia stanu niezawodnościowego modelu wyrobu w przedziale czasu o długości Dt w każdej fazie projektowania i badań. Prawdopodobieństwo to oznacza możliwość przekształcenia l w 0 w przedziale czasu o długości Dt, tzn.

.

Wykorzystując przyjęte oznaczenia, można wynik prac konstrukcyjnych w przedziale czasu o długości Dt sprowadzić do zależności o postaci

,                                                                        (57)

                                                                    (58)

gdzie ( l – b ) oznacza prawdopodobieństwo niepogorszenia niezawodności modelu wyrobu w przedziale Dt, ( l – a ) – prawdopodobieństwo nie polep­szenia niezawodności modelu wyrobu w przedziale czasu o długości Dt, Pk-1 prawdopodobieństwo niezawodności modelu wyrobu w pojedynczej próbie dla wersji modelu wyrobu k – l, qk zaś prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego w stosunku do Pk (czyli zawodnego działania modelu wyrobu). Można wykonać sprawdzenie, że

Pk + qk = 1.

Otóż:

1 = 1

Przyjmuje się również, że proces prac konstrukcyjno-badawczych jest popraw­ny, tzn. a > b.

Uwzględniając podział pokazany na rys. 5, można wzory (57) i (58) przed­stawić w postaci ogólnej. Niech p] będzie określone dla pierwszej wersji modelu w czasie prób:

,                                                                                 (59)

gdzie N jest licznością próbki, n – liczbą jedynek w N próbkach, xi zaś zmienną losową dla pojedynczej próby przyjmującą wartości l lub 0. Mając prawdopodobieństwo P1 można określić P2 i q2:

,

.                                                                             (60)

Mając prawdopodobieństwo P2 można określić P3 i q3.

,

.

Postępując podobnie można napisać wzory (57) i (58) dla k-tej wersji:

,

W rezultacie projektowania i badań otrzymuje się następujący ciąg:

P1, P2, P3,…, Pk, Pk+1,… = {Pk}                                                                   (61)

Właściwości tego ciągu charakteryzują proces konstruowania i badań modelu wyrobu. Inaczej mówiąc, właściwości tego ciągu zależą od jakości procesów konstrukcyjnych i badawczych w ramach prac nad modelem wyrobu. Dotych­czas ograniczono się do przypadku, gdy a i b są stałe. W rzeczywistości tak nie jest. Problem ten będzie rozpatrzony dalej.

Reklamy